들어가며
저주파 통과 필터는 여러가지가 있다.
회로를 공부하다 보면 다양한 LPF를 제작할 수가 있는데
이번 포스팅에서는 그것과는 별개로 이산 시스템에서의 1차 저주파 통과 필터 만을 다루고자 한다.
수식 유도
먼저, 이전 포스팅에서 보았던 이동 평균 필터의 경우 정의식은 다음과 같았다.
이는 최근에 측정한 값이든 이전에 측정된 값이든 동일하게 1/n의 가중치를 가지고 동일하게 계산되는 과정을 거치는데
센싱에서의 정확도는 아무래도 최근에 측정한 값일수록 더 가중치가 높아야 정확하지 않느냐는 것이다.
그래서 대안으로 적용할 수 있는 것이 LPF이다.
1차 LPF의 기본 식은 평균 필터의 정의에서 출발할 수도 있다.
평균 필터의 식은 다음과 같다.
여기서 (k-1)/k를 a라고 두면 1/k는 (1-a)가 되므로 수식은 다음과 같다.
이것이 1차 LPF의 식이다.
다만 이 식은 평균 필터 식과는 형태가 같지만
a값을 조절할 수 있다는 점에서 다른 식이다.
평균 필터에서의 k는 데이터 개수에 관한 값이지만
LPF에서의 a값은 0에서 1사이 값으로서 상수로 정해놓고 쓰는 값이다.
예시
a 값을 0.7정도로 잡으면 1-a 값은 0.3이 되는데
이는 이전 추정값에 0.7배의 가중치를 두고, 현재 측정 값에 0.3배의 가중치를 두겠다는 말이 된다.
그 말은 현재 측정값의 일정 부분 튀는 값이 있더라도 0.3배하여 감쇠시키는 연산을 한다는 말이 된다.
반대로 a값을 0.3정도로 잡을 수도 있다.
그래서 a값을 어느 범위에 잡느냐에 따라 현재 측정값에 민감하게 따라갈 것인지,
아니면 이전 추정값에 가중치를 더 두어 따라갈 것인지를 선택할 수 있다.
현재 측정값에 민감하게 따라가게 설정한다면 심하면 잡음까지도 민감하게 따라가는 모습을 볼 수 있고,
이전 추정값에 가중치를 두게 설정한다면 값이 지연되는 것처럼 나오게 된다.
0에서 1사이 어떤 값을 잡더라도 완벽히 0이나 1이 아니기 때문에 두가지 속성을 어느 정도는 지닌다.
LPF의 목적은 저주파(신호) 성분을 통과시키고 고주파(잡음) 성분을 제거시키는 것이다.
이전 추정값의 가중치가 크고 현재 측정값의 가중치가 적다면 잡음이 제거되는 것처럼 되지만, 이것이 너무 심하면 현재 측정값을 업데이트하지 못하고 성분이 많이 지연되는 것처럼 느껴질 수 있다.
따라서, a값을 적절하게 설정하는 것이 중요하다고 할 수 있다.
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