평균필터

들어가며

k개의 데이터에 대한 평균은 다음과 같이 표시할 수 있다.

 

 

여기서 데이터가 하나 더 추가되면 평균은 어떻게 구할 수 있을까?

 

 

정의식에 의하면 위와 같이 구할 수 있을 것이다.

 

그러나, 이렇게 계산하면 앞에서 구한 결과를 재사용하지 못하여

데이터가 늘어날수록 많은 양의 계산을 해야하는 단점이 있다.

그래서 이 수식이 아닌 이전의 평균값을 반영하는 다른 수식을 유도해야 한다.

 

수식 유도

먼저, 첫번째 수식에서 양변에 k를 곱하고 k-1로 나누면 다음과 같다.

 

 

여기서 분모가 k-1이므로 위의 분자를 k-1까지의 데이터와 k번째 데이터의 합으로 분리한다.

 

 

여기서 우변의 첫번째 항이 k-1번째까지의 평균이므로 평균 식으로 대체할 수 있다.

 

 

비로소 k-1번째까지의 평균값에 의해서 k번째까지의 평균값을 구하는 수식이 나왔는데

깔끔하게 k-1을 곱하고 k를 나누어 정리하도록 한다.

 

 

이전의 평균값을 이용해서 다음의 데이터를 입력받아 다음의 평균값을 구하는 수식이 완성되었다.

 

예시

데이터가 5,4,6이 순서대로 들어온다고 가정하자.

첫번째 데이터(k=1)인 5가 들어올 때 평균값을 계산하면 다음과 같다.

 

 

두번째 데이터(k=2)인 4가 들어올 때 평균값을 계산하면 다음과 같다.

 

 

세번째 데이터(k=3)인 6이 들어올 때 평균값을 계산하면 다음과 같다.

 

 

 

데이터가 추가될 때마다 평균값이 잘 업데이트 되는 것을 확인할 수 있었다.